分析 (1)作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q,证明Rt△EQF≌Rt△EPD,得到EF=ED,根据正方形的判定定理证明即可;(2)通过计算发现E是AC中点,点F与C重合,△CDG是等腰直角三角形,由此即可解决问题.(3)分两种情形考虑问题即可; 解答 (1)证明:作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q,∵∠DCA=∠BCA,∴EQ=EP,∵∠QEF+∠FEC=45°,∠PED+∠FEC=45°,∴∠QEF=∠PED,在Rt△EQF和Rt△EPD中,$\left\{\begin{array}{l}{∠QEF=∠PED}\\{EQ=EP}\\{∠EQF=∠EPD}\end{array}\right.$,∴Rt△EQF≌Rt△EPD,∴EF=ED,∴矩形DEFG是正方形;(2)如图2中,在Rt△ABC中.AC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$,∵EC=$\sqrt{2}$,∴AE=CE,∴点F与C重合,此时△DCG是等腰直角三角形,易知CG=$\sqrt{2}$. (3)①当DE与AD的夹角为30°时,∠EFC=120°,②当DE与DC的夹角为30°时,∠EFC=30°综上所述,∠EFC=120°或30°. 点评 本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.
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